乳歯が抜ける前に隣から永久歯が生え始めてしまいました・・・

乳歯が揺れずに永久歯が出てきてしまった場合、永久歯の位置がずれて生えてきてしまうため抜歯が必要になります。
乳歯を抜歯することにより永久歯は正しい位置へと戻ります。
また、乳歯が揺れている場合は様子見が必要です。
自分でもできるだけ乳歯が抜けやすくなるように揺らしてあげるとよいでしょう。
ただし噛んだりしたときに痛みがあるようであれば抜歯をする必要が出てきます。

状況によって対処法が異なるのですね。

そうですね。
これとはまた逆の例ですが、乳歯が抜けたにも関わらず永久歯が生えてこない場合もあります。
半年ほど経っても永久歯が生えてこなければ歯科医で診断してもらったほうよいです。
中には乳歯の下に永久歯がないという先天性欠如の方もいます。
場合によりますが乳歯をそのまま使うか矯正で乳歯を抜いて永久歯を寄せる方法があります。