治療後、埋めた歯の歯茎が黒く変色することはありますか？一部だけ黒っぽい人をよく見ますので心配になってしまいました。

あります。審美歯科で取り付けた差し歯に使用されている金属との相性が合わなかったのが原因かもしれません。
もしもそれが原因であれば、相性のいい差し歯に取り替えることによって、歯茎の色は改善されます。

金属が歯茎に合わない場合、金属が含まれていない差し歯をつけることになりますが、含まれていない差し歯はあるのでしょうか？

金属や混ぜ物を全く含まれていないオールセラミックスのクラウンを使用すれば、この問題は解決されます。
オールセラミックスは歯本来の透明感もでますし、変色せずに煙草やコーヒーなどの着色がしにくいため、治療後の歯茎や歯の変色も気にならなくなります。
治療の際には金属を使用していない分、歯を削る量も少なく済みます。